知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•扬州一模）如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分别为BC、CC₁中点，BC₁⊥B₁D．
（1）求证：DE∥平面ABC₁；
（2）求证：平面AB₁D⊥平面ABC₁．

难度：中等

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2．（2016•盐城一模）如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ACC₁A₁是正方形，点O是侧面ACC₁A₁的中心，∠ACB=
π
2
，M是棱BC的中点．
（1）求证：OM∥平面ABB₁A₁；
（2）求证：平面ABC₁⊥平面A₁BC．

难度：中等

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3．（2016•贵阳一模）如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AB=2，BC=
2
，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2
2
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

难度：中等

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5．（2015秋•庄河市期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）平面BEF∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD．

难度：中等

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6．如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面FGH∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知底面为正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分别是A₁B₁，AA₁的中点，F是AB边上的点，且FB=3AF，连接EF、DB、C₁B、C₁D．
（Ⅰ）求证：平面BC₁D⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）在线段AC上，是否存在一点M，使得平面FEM∥平面BC₁D，若存在，请找出点M的位置，并证明平面FEM∥平面BC₁D，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面A₁B₁C₁AC=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求直线BC₁与平面A₁BE所成角的正弦值．

难度：中等

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9．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）求证：平面A₁C₁D∥平面ACB₁：
（2）求证：平面ACB₁⊥平面B₁BDD₁．

难度：中等

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10．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是边长为2的正三角形，正视图是矩形，且AA₁=3，设D为AA₁的中点．
（1）作出该几何体的直观图
（2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁．

难度：中等

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