知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=CC₁=2，M是AB的中点．
（1）求证：平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁；
（2）求点M到平面A₁CB₁的距离．

难度：中等

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2．（2017•大连模拟）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）试确定点E的位置，使得四棱锥P-ABCD的体积等于三棱锥P-ACE体积的4倍．

难度：中等

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3．已知如图：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱均相等，AA₁⊥平面ABC，E为AA₁的中点．
（1）求证：平面BC₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角C₁-BE-A₁的余弦值．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M-BQ-C的大小．

难度：中等

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5．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B-AD-C，如图2．
（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；
（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．

难度：中等

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6．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO=
2
，AB=2．求证：
（1）求棱锥P-ABCD体积；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）求二面角E-BD-C的大小．

难度：中等

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7．如图1，ABCD为长方形，AB=3，AD=
2
，E，F分别是边AB，CD上的点，且AE=CF=1，DE与AF相交于点G，将三角形ADF沿AF折起至ADF'，使得D'E=1，如图2．
（1）求证：平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）求平面D'EG与平面所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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8．在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，AC=2
2
．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）证明：平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．

难度：中等

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9．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA=AD=3，CD=
6

①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．

难度：较难

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10．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCM；
（2）证明：线段PC的中点为球O的球心．

难度：中等

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