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已知四棱锥\(P-ABCD\)，底面\(ABCD\)是\(\angle A={{60}^{\circ }}\)、边长为\(2\)的菱形，又，且\(PD=CD\)，点\(M\)、\(N\)分别是棱\(AD\)、\(PC\)的中点．
\((1)\)证明：\(DN/\!/\)平面\(PMB\)；
\((2)\)证明：平面 \(PMB\bot \)平面\(PAD\)；
\((3)\)求二面角\(P-BC-D\)的余弦。
如图，在长方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，已知\(AD=A{{A}_{1}}=1\)，\(AB=2\)，点\(E\)是\(AB\)的中点．
\((1)\)求证：\({{D}_{1}}E\bot {{A}_{1}}D\)；
\((2)\)求直线\({{B}_{1}}C\)与平面\(DE{{D}_{1}}\)所成角的大小．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AP\bot \)平面\(PBD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求平面\(PAD\)与平面\(PBC\)所成角的余弦值．
如图，在长方体\(ABCD—{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)中，\(AD=A{A}_{1}=1 \)，\(AB=2 \)，点\(E\)在棱\(AB\)上．
\((1)\)求异面直线\(D_{1}E\)与\(A_{1}D\)所成的角；
\((2)\)若平面\(D_{1}EC\)与平面\(ECD\)的夹角大小为\(45^{\circ}\)，求点\(B\)到平面\(D_{1}EC\)的距离．
如图，在四棱锥\(P\)\(\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA\)\(=\)\(AD\)\(=4\)，\(AB\)\(=2.\)以\(BD\)的中点\(O\)为球心，\(BD\)为直径的球面交\(PD\)于点\(M\)．
\((1)\)求证：平面\(ABM\)\(⊥\)平面\(PCD\)；
\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(ABM\)所成角的正切值；
\((3)\)求点\(O\)到平面\(ABM\)的距离．
如图，四棱锥\(P-ABCD\)的底面是矩形，侧面\(PAD\)是正三角形，且侧面\(PAD⊥\)底面\(ABCD\)，\(E\) 为侧棱\(PD\)的中点．
\((1)\)求证：\(AE\bot \)平面\(PCD\)；
\((2)\)当\(AD=AB\)时，试求二面角\(A-PC-D\)的余弦值；
\((3)\)当\(\dfrac{AD}{AB}\)为何值时，\(PB\bot AC\)．
已知长方体\(ABCD-{A}{{{'}}}{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}{D}{{{'}}},A{A}{{{'}}}=AD=1,AB=2\)，点\(E\)为\(DC\)中点．
\((1)\)求证：\({B}{{{'}}}E\bot \)面\(AE{D}{{{'}}}\)；
\((2)\)求点\({C}{{{'}}}\)到面\(AE{D}{{{'}}}\)的距离．
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