知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
3 3
2 4
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
1
8
在矩阵B的作用下变换为β，求M⁵⁰β（运算结果用指数式表示）．

难度：中等

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2．已知矩阵A=
1 3
2 4
，向量
α
=
1
2
，求矩阵A的逆矩阵，及使得A
β
=
α
成立的向量
β
．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
1 2
-1 4

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
-1
2
，求A⁵β

难度：中等

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4．已知矩阵M=
1 0
0
1
2
．
（Ⅰ）求M²，M³，并猜想Mⁿ的表达式；
（Ⅱ）试求曲线x²+y²=1在矩阵M^-1变换下所得曲线的方程．

难度：较难

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5．二阶矩阵M有特征值λ=6，其对应的一个特征向量
e
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量．

难度：较难

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6．选修4-2矩阵与变换
（Ⅰ）已知矩阵A=
-1 a
b 3
所对应的线性变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知
e1
=
1
1
是矩阵B=
c 1
0 d
属于特征值λ₁=2的一个特征向量，求矩阵B及其另一个特征值及其对应的一个特征向量．

难度：中等

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7．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量
e1
=[

1
1
]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值．

难度：较易

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8．选修4-2：矩阵与变换
已知α=
.
2
1
.
为矩阵A=
.
1 a
-1 4
.
属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A²．

难度：中等

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9．已知矩阵M=
2 1
4 2
，向量
β
=
.
1
7
.
．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M⁵⁰
β
．

难度：中等

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