知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=
2
，曲线C₂的参数方程是
x=1
y=2tsinθ+
1
2
(t＞0，θ∈[
π
6
，
π
2
]，θ是参数）．
（1）写出曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）求t的取值范围，使得C₁，C₂没有公共点．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
t
2
y=2+
3
2
t
(t为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换
x′=2x
y′=y
得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+2
3
y的最小值．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．矩阵与变换．已知矩阵A=
1 a
-1 b
，A的一个特征值λ=2，属于λ的特征向量是
α1
=
2
1
，求矩阵A与其逆矩阵．
坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数)上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=
2 a
b 0
属于特征值-1的一个特征向量为
1
-3
，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

难度：中等

解析收藏试题篮
5．选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=2+2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．（选修4-4：坐标系与参数方程）：
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=
π
4
与曲线
x=t+1
y=(t-1)2
（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．在极坐标系中A（2，
π
3
），B（2，π），则AB的中点的极坐标为．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．已知在极坐标系下，点A(1，
π
3
)，B(3，
2π
3
)，O是极点，则A，B两点间的距离|AB|= ；△AOB的面积等于．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．在极坐标系中，O是极点，设点A(4，
π
6
)，B(3，
2π
3
)，则O点到AB所在直线的距离是．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．（理科）以直线y=x-2与x轴的交点为极点，直线向上方向的射线为极轴，单位与直角坐标系的单位相同，建立极坐标系．若点P的极坐标为（4，
π
12
），则P在原直角坐标系中的坐标为．
（文科）若组成某工程的各工序的紧前工序与工时数如下表所示：
则该工程总工时数为天．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷