\([\)选修\(4-4\)：坐标系与参数方程\(]\)

已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=t\cos \varphi \\ & y=-2+t\sin \varphi \end{cases}(t\)为参数，\(0\leqslant φ < π)\)，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=1\)，\(l\)与\(C\)交于不同的两点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)

\((\)Ⅰ\()\)求\(φ\)的取值范围；

\((\)Ⅱ\()\)以\(φ\)为参数\(.\)求线段\(P_{1}P_{2}\)中点\(M\)的轨迹的参数方程．

已知直线\(C\)\({\,\!}_{1}\)：\(\begin{cases}x=1+tcoaα, \\ y=t\sin α\end{cases} \)\((t\)为参数\()\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ\end{cases} \)\((θ\)为参数\()\)．

\((1)\)当\(α=\dfrac{\pi }{3}\)时，求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的直角坐标方程，以及\(C_{1}\)与\(C_{2}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,\ \theta \in [0,\ 2\pi )\)；

\((2)\)过坐标原点\(O\)作\(C_{1}\)的垂线，垂足为\(A\)，\(P\)为\(OA\)中点，当\(α\)变化时，求\(P\)点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

对于参数方程\(\begin{cases} & x=1-t\cos 30{}^\circ \\ & y=2+t\sin 30{}^\circ \\ \end{cases}\)和\(\begin{cases} & x=1+t\cos 30{}^\circ \\ & y=2-t\sin 30{}^\circ \\ \end{cases}\)下列结论正确的是\((\)   \()\)

当\(m\)变化时，抛物线\(y-4x-4my=0\)的顶点\(M\)的轨迹方程是\((\)   \()\)

选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

  在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)，\(M\)为\({{C}_{1}}\)上的动点，\(P\)点满足\(\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}\)，点\(P\)的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)．

\((I)\)求\({{C}_{2}}\)的方程；

 \((II)\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)与\({{C}_{1}}\)的异于极点的交点为\(A\)，与\({{C}_{2}}\)的异于极点的交点为\(B\)，求\(|AB|\)．

在直角坐标系\(xOy\)中，\(M(-2,0).\)以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，\(A(ρ,θ)\)为曲线\(C\)上一点，\(B\left(\begin{matrix} \begin{matrix}ρ,θ+ \dfrac{π}{3} \end{matrix}\end{matrix}\right)\)，\(|BM|=1\)．

\((1)\)求曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)求\(|OA|^{2}+|MA|^{2}\)的取值范围．

在平面直角坐标系中，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系\(.\)已知直线\(l\)上两点\(M\)，\(N\)的极坐标分别为\((2,0)\)，\(( \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}, \dfrac{π}{2}) \)，圆\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2+2\cos θ, \\ y=- \sqrt{3}+2\sin θ\end{cases} (\)\(θ\)为参数\()\)．

\((1)\)设\(P\)为线段\(MN\)的中点，求直线\(OP\)的平面直角坐标方程；

\((2)\)判断直线\(l\)与圆\(C\)的位置关系．