知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x-a|+|2x-1|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）求证：f(x)≥|a-
1
2
|．

难度：中等

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2．设函数f（x）= $\text{[math]}$ ，证明：
（I）当x＜0时，f（x）＜1；
（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．

难度：中等

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3． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥3．

难度：中等

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4．已知a，b是正常数，x，y∈（0，+∞），求证： $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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5． A．选修4-1几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：ED²=EB•EC．
B．矩阵与变换
已知矩阵A=
2 -1
-4 3
，
4 -1
-3 1
，求满足AX=B的二阶矩阵X．
C．选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos（θ+
π
3
），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4-5 不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+
1
abc
≥2
3
．

难度：较难

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6．（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=（
2 a
2 b
）的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为
x=sinα
y=2cos2α-2
，（α为参数），曲线D的坐标方程为ρsin（θ-
π
4
）=-
3
2
2
．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
（Ⅰ）求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．

难度：较难

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7． A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
D．证明不等式：
1
1
+
1
1×2
+
1
1×2×3
+L+
1
1×2×3×L×n
＜2．

难度：较难

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