知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c均为实数，且 $a%3Dx%5E%7B2%7D-2y%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cb%3Dy%5E%7B2%7D-2z%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8Cc%3Dz%5E%7B2%7D-2x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，
求证：a，b，c中至少有一个大于0．（请用反证法证明）

难度：较易

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2．（1）求证：已知：a＞0，求证：
a+5
-
a+3
＞
a+6
-
a+4

（2）已知a，b，c均为实数且a=x²+2y+
π
2
，b=y²-2z+
π
3
，c=z²-2x+
π
6
，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：中等

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3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）

A．方程+ax+b=0没有实根

B．方程+ax+b=0至多有一个实根

C．方程+ax+b=0至多有两个实根

D．方程+ax+b=0恰好有两个实根

难度：中等

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4．已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．

难度：较易

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5．用反证法证明：“a＞b”，应假设为（　　）

A．a＞b

B．a＜b

C．a=b

D．a≤b

难度：较难

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6．已知集合S={1，2，3，…，2011，2012}设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），若x-y都不能整除x+y，则称集合A是S的“好子集”．
（Ⅰ）分别判断数集P={2，4，6，8}与Q={1，4，7}是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
（Ⅱ）证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x-y≥3；
（Ⅲ）求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．

难度：较难

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7．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N^*，
bn-cn
an-12
≥0．

难度：较难

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8． A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=
3 1+x
，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．

难度：较难

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9．已知函数f(x)=
ax
ax+
a
( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)的值；
（2）是否存在自然数a，使
a
f(n)
f (1-n)
＞n2对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较
1
4
n (n+1 )•lg3和lg（n！）（n∈N）的大小．

难度：较难

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10．如图，已知D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，F是线段DE上的任意一点，DE∥BC，且S_△ABC=1，求证：△BDF和△CEF中至少有一个三角形的面积不大于
1
8
．

难度：中等

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