知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）证明柯西不等式：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
（2）若a，b∈R₊且a+b=1，用柯西不等式求
3a+1
+
3b+1
的最大值．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=|x-2|-3．
（Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求g（x）=3
x+4
+4
|x-6|
的最大值．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=k-|x-3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且
1
ka
+
1
2kb
+
1
3kc
=1，求证：
1
9
a+
2
9
b+
3
9
c≥1．

难度：较难

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4．已知a b c∈R⁺，a+
2
b+
3
c=2
3
，记a²+b²+c²的最小值为m．
（Ⅰ）求实数rn；
（Ⅱ）若关于x的不等式|x-3|≥m和x²+px+q≥0的解集相同，求p的值．

难度：较难

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5．设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a²+b²+c²≥
8
7
．

难度：较难

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6．已知正实数a，b，c及函数f（x）=|x-a|+|x-1|．
（I）当a=3时，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若a+b+c=1，且不等式f（x）≥
a2+b2+c2
b+c
对任意实数x都成立．求证：0＜a≤
2
-1．

难度：较难

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7．已知关于x的不等式m-|x-2|≥1，其解集为[0，4]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a²+b²的最小值．

难度：较难

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8．已知正数a，b，c满足a+2b+3c=6，求证：
a+1
+
2b+2
+
3c+3
≤6．

难度：较难

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9．正数m、n满足m²=a²+b²，n²=x²+y²，求ax+by的最大值．

难度：较易

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10．已知2x²+3y²≤6，求证：x+2y≤
11
．

难度：较易

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