知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x-5|+|x-3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b满足
1
a
+
1
b
=
3
，求证：
1
a2
+
2
b2
≥m．

难度：较难

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2．己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．
（1）求证：ab+bc+ac≤
4
3
；
（2）若a，b，c都小于1，求a²+b²+c²的取值范围．

难度：较难

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3．已知x，y，z＞0．a，b，c是x，y，z的-个排列．求证：
a
x
+
b
y
+
c
z
≥3．

难度：中等

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4．设a，b，c，d为正实数，且满足a²+b²+c²+d²=4．证明：a+b+c+d≥
2
3
（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

难度：中等

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5．已知n∈N^*，n＞1，n个实数a₁，a₂，…，a_n满足a₁+a₂+…+a_n=0，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1．求证：|a₁+2a₂+3a₃+…+n|a_n|≤
n-1
2
．

难度：中等

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6．正实数a₁（i=1，2，…，10）满足条件
10
i=1
a_i=30．求证：
10
i=1
（a_i-1）（a_i-2）（a_i-3）≥0．

难度：中等

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7．已知a₁²+a₂²+…+a_n²=1，x₁²+x₂²+…+x_n²=1，求证：a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n≤1．

难度：中等

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8．正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k，证明：aB+bC+cA＜k²．

难度：中等

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9．设a₁，a₂，…a_n为实数，证明：a₁c₁+a₂c₂+…a_nc_n≤a₁²+a₂²+…+a_n²，其中c₁，c₂，…，c_n是a₁，a₂，…，a_n的任一排列．

难度：中等

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10．若x²+y²≤1，求证|x²+2xy-y²|≤
2
．

难度：较易

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