知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c均为正数
（1）证明：a²+b²+c²+（
1
a
+
1
b
+
1
c
）²≥6
3
，并确定a，b，c如何取值时等号成立；
（2）若a+b+c=1，求
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值．

难度：较难

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2．观察下列两个结论：
（Ⅰ）若a，b∈R⁺，且a+b=1，则
1
a
+
1
b
≥4；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9；先证明结论（Ⅱ），再类比（Ⅰ）（Ⅱ）结论，请你写出一个关于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n的结论？（写出结论，不必证明．）

难度：较难

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3．（选修4-5：不等式选讲）
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，试求a的最值．

难度：较难

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4．已知x、y、z均为正实数，且x+y+z=1．求证：
x2
y+z
+
y2
x+z
+
z2
x+y
≥
1
2
．

难度：较难

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5．设a，b，c均为正数，且a+2b+3c=2，求
1
a
+
2
b
+
3
c
的最小值．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]²+y²+z²=9，试求x+2y+2z的最小值．

难度：较难

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7．不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，求x²+y²+z²的最小值．

难度：中等

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8．（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求
a+1
+
2b+1
+
3c+1
的最大值．

难度：较难

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9．已知正实数x，y，z满足x²+y²+z²=8，设M=
x4
9
+
y4
16
+
z4
25
，当x、y、z为何值时，M取得最小值？并求出M的最小值．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=|x-m|，不等式f（x）≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}
（Ⅰ）实数m值；
（Ⅱ）若a²+b²+c²=1且f（2x-1）+f(2x+1)＞a+b+
2
c对任意实数a，b，恒成立，求实数x的取值范围．

难度：中等

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