知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设n是不小于2的正整数，求证：
4
7
＜1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
＜
2
2
．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|-m（m∈R），不等式f（x）＜5的解集为（-4，2）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）实数a，b，c满足a²+
b2
4
+
c2
9
=m，求证：a+b+c≤
14
．

难度：较难

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3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求
1
4
a²+
1
9
b²+c²的最小值．

难度：较难

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4．已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：
1
a-b
+
4
b-c
+
9
c-d
≥
36
a-d
．

难度：较难

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5．已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）．
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤
7
2
(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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6．已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤
7
2
（x²+y²+z²）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．（Ⅰ）在极坐标系内，已知曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为
5x=1-4t
5y=18+3t
（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程以及曲线C₂的普通方程；
（2）设点P为曲线C₂上的动点，过点P作曲线C₁的切线，求这条切线长的最小值．
（Ⅱ）已知f（x）=m-|x-2|，且不等式f（x+2）≥0解集为[-1，1]．
（1）求正实数m的大小；
（2）已知a，b，c∈R，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m，求a+2b+3c的最小值．

难度：较难

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8．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|
（1）设S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜
5
6
成立．

难度：较难

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9．已知x，y，z∈R₊，且x+y+z=1．
（1）若
x+1
+
y+1
+
z+1
=2
3
，求x，y，z的值．
（2）求证：
x
1+x
+
y
1+y
+
z
1+z
≤
3
4
．

难度：中等

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10．已知a₁，a₂，…，a_n∈R⁺，且a₁²+a₂²+…+a_n²=1（n∈N^*）．
（1）求证：a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n+a_na₁≤1；
（2）求证：a₁+a₂+…+a_n≤
n+1
2
．

难度：中等

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