知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用数学归纳法证明：
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
．（n=1，2，3…）

难度：较难

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2．用数学归纳法证明
1
22
+
1
32
+…+
1
(n+1)2
＞
1
2
-
1
n+2
，假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}满足：a₁=a，an+1=
1
2-an

（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想出a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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4．已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+
an
1+an
(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

难度：难

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5．已知函数f（x）=xlnx-2x+a，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；
（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²，其中n≥2．

难度：较难

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6．求证：4ⁿ＞（n+3）•3^n-1（n∈N^*，且n＞2）

难度：中等

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7．设集合A₁，A₂，A₃…A_n中元素的个数分别为1，2，3，…n，…，现从A_n，A_n+1，A_n+2，A_n+3中各取一个元素，记不同取法种数为f（n）．
（1）求f（1）；
（2）是否存在常数a，b，使得f（1）+f（2）+…+f（n）=a（n+2）⁵-（n+2）³+b（n+2）对任意n∈N^*总成立？若存在，请求出a，b的值，并用数字归纳法证明；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．用数学归纳法证明：3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹（n∈N）能被14整除．

难度：中等

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9．已知a、b为正整数．设两直线1₁：y=b-
b
a
x与1₂：y=
b
a
x的交点为P₁（x₁，y₁），且对于n≥2的自然数，两点（0，b），（x_n-1，0）的连线与直线y=
b
a
x的交点为P_n（x_n，y_n）
（1）求P₁，P₂的坐标；
（2）猜想P_n的坐标公式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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