知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．由下列式子　1＞
1
2

1+
1
2
+
1
3
＞1
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
＞
3
2

1+
1
2
+
1
3
+…+
1
15
＞2
…
猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明．

难度：中等

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2．若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（
1
x1
+
1
x2
）≥4，（x₁+x₂+x₃）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}满足a₁=
2
5
，且对任意n∈N^*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令bn=
2
3
(
1
an
+5)，证明：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

难度：较难

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4．已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-a
x
在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-
1
x2
在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2
x
+
3
x
，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

难度：较难

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5．已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明：1+

+…+

(2n-1)2

＜2-

2n-1

(n≥2)（n∈N^*）时第一步需要证明（　　）

A．1＜2-

2-1

B．1+

＜2-

22-1

C．1+

＜2-

22-1

D．1+

＜2-

22-1

难度：较易

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7．设a＞2，给定数列{a_n}，a₁=a，a_n+1=
an2
2(an-1)
（n∈N⁺）．求证：a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N⁺）．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n为{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（Ⅰ）求a₁，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=3ⁿ且a=2，T_n为数列{a_n•b_n}的前n项和，求
lim
n→∞
Tn-n•3n+1
bn
的值．

难度：较难

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9．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=
n
n-1
a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=
3n-1
an
（n∈N^∗），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n=
an+1
n+1
（n∈N^*），数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

难度：较难

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10．设函数f_n（x）=C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（n∈N，n≥2），当x＞-1，且x≠0时，证明：f_n（x）＞0恒成立．

难度：较难

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