知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

观察下列等式

\(1 > \dfrac{1}{2} \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1 \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2} \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2 \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{31} > \dfrac{5}{2} \)
\((1)\)从上述不等式归纳出一个与正整数\(n\)有关的一般不等式；

\((2)\)证明你归纳得到的不等式．

难度：难

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2．若\(f(n)=1+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}}+…+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}\)，\(n∈N\)，当\(n\geqslant 3\)时，证明：\(f(n) > \sqrt {n+1}\)．

难度：易

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3．
设\(f(n)=1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{4}+…+ \dfrac {1}{2^{n}}\)，则\(f(k+1)-f(k)=\) ______ ．

难度：较易

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4．
已知正项数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1,a_{n+1}=1+ \dfrac {a_{n}}{1+a_{n}}(n∈N^{*}).\)用数学归纳法证明：\(a_{n} < a_{n+1}(n∈N^{*})\)．

难度：较难

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5．
已知\(f(n)=1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+L+ \dfrac {1}{n}(n∈N^{*})\)，用数学归纳法证明\(f(2^{n}) > \dfrac {n}{2}\)时，\(f(2^{k+1})-f(2^{k})\)等于 ______ ．

难度：较易

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6．
设，则 _______。

难度：难

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7．
已知 \(.\)用数学归纳法证明：．

难度：难

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8．
由下列式子　\(1 > \dfrac {1}{2}\)
\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3} > 1\)
\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{5}+ \dfrac {1}{6}+ \dfrac {1}{7} > \dfrac {3}{2}\)
\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{15} > 2\)
\(…\)
猜想第\(n\)个表达式，并用数学归纳法给予证明．

难度：中等

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