知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+L+
1
n
（n∈N^*），用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞
n
2
时，f（2^k+1）-f（2^k）等于．

难度：中等

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2．若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（
1
x1
+
1
x2
）≥4，（x₁+x₂+x₃）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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3．设f(n)=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n
，则f（k+1）-f（k）= ．

难度：中等

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4．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•…•（2n-1）”（n∈N₊）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是．

难度：中等

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5．求证：3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除．

难度：中等

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6．已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

难度：中等

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7．已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，g(n)=2(
n+1
-1)(n∈N*)．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

难度：较难

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8．设f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}中，a1=
2
2
，an+1=
n+1
n+2
an (n=1，2，…)．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

难度：中等

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10．函数数列{f_n（x）}满足：f1(x)=
x
1+x2
(x＞0)，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

难度：较难

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