上一个\(n\)层的台阶，若每次可上\(1\)层或\(2\)层，设所有不同的上法的总数为\(f(n)\)，则下列猜想中正确的是(    )

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)和为\({{S}_{n}}\)，且满足\({{S}_{2}}=3,\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}2{{S}_{n}}=n+n{{a}_{n}},\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}n\in {{N}^{*}}\)

\((1)\)求\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)，并求出数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}+1}}-1\)，证明：\(\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}+\dfrac{{{b}_{2}}}{{{b}_{3}}}+\cdots +\dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}} < \dfrac{n}{2}(n\in {{N}^{*}})\)

用数学归纳法证明不等式\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{4}+…+ \dfrac{1}{2^{n-1}} > \dfrac{127}{64}(n∈N^{*})\)成立，其初始值至少应取\((\)　　\()\)

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式\({{a}_{n}}=\dfrac{4}{{{(2n-1)}^{2}}}\)，数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的通项满足\({{b}_{n}}=(1-{{a}_{1}})(1-{{a}_{2}})\cdots (1-{{a}_{n}})\)，

\((1)\)求：\({{b}_{1}}\)、\({{b}_{2}}\)、\({{b}_{3}}\)并猜想\({{b}_{n}}\)；

\((2)\)用数学归纳法证明猜想．

用数学归纳法证明“\(2^{n} > n^{2}+1\)对于\(n\geqslant n_{0}\)的正整数\(n\)都成立”时，第一步证明\(n\)的起始值\(n_{0}\)应取________．

用数学归纳法证明不等式\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{4}+…+ \dfrac{1}{2^{n-1}} > \dfrac{127}{64}(n∈N^{*})\)成立，\(n\)的初始值至少应取\((\)　　\()\)

等比数列\(\{a_{n}\) \(\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)， 已知对任意的\(n\in {{N}^{+}}\)  ，点\((n,{{S}_{n}})\)，均在函数\(y={{b}^{x}}+r(b > 0\)且\(b\ne 1,b,r\)均为常数\()\)的图像上．

\((1)\)求\(r\)的值；     

\((11)\)当\(b=2\)时，记 \({{b}_{n}}=2({{\log }_{2}}{{a}_{n}}+1)(n\in {{N}^{+}})\)   证明：对任意的\(n\in {{N}^{+}}\) ，不等式\(\dfrac{{{b}_{1}}+1}{{{b}_{1}}}{ }\!\!\cdot\!\!{ }\dfrac{{{b}_{2}}+1}{{{b}_{2}}}{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\dfrac{{{b}_{n}}+1}{{{b}_{n}}} > \sqrt{n+1}\)成立

求证：\(1+ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}}+...+ \dfrac{1}{ \sqrt{n}} < 2 \sqrt{n} \)​\((n\in {{N}^{*}})\)．