知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及Sn=
n
i=1
ai；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

难度：难

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2．已知函数f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＜
1
2
时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＞
3
4
-
2n+1
2n(n+1)
．

难度：中等

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3．已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+
an
1+an
(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

难度：难

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4．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

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5．设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

难度：难

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6．已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
1
an
}的前n项积为T_n，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有T_n＞
xn
ex
．

难度：较难

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7．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=
n
n-1
a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=
3n-1
an
（n∈N^∗），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n=
an+1
n+1
（n∈N^*），数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

难度：较难

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8．设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞
f(x)
x
，
（1）判断函数F(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上的单调性；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），比较f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小，并证明你的结论；
（3）设x₁，x₂，…x_n∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）与f（x₁+x₂+…+x_n）的大小，并证明你的结论．

难度：较难

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9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-（a_n+2）S_n+1=0，1-S_n=a_nb_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若正项数列{c_n}满足cn≤
a
1+(bn-1)a
(n∈N*，0＜a＜1)，求证：
n
k=1
ck
k+1
＜1．

难度：较难

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10．在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

难度：较难

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