共50条信息
\((2)\)设\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，用数学归纳法证明：\({{S}_{n}} < \dfrac{1}{2}{{(n+1)}^{2}}\)．
已知函数\(f(x)=ax- \dfrac{b}{x}-2\ln x\)，\(f(1)=0\)．
\((1)\)若函数\(f(x)\)在其定义域内为单调函数，求实数\(a\)的取值范围？
\((2)\)若函数\(f(x)\)的图像在\(x=1\)处的切线的斜率为\(0\)，且\(a_{n+1}=f′\left( \left. \dfrac{1}{a_{n}+1} \right. \right)-na_{n}+1\)，若\(a_{1}\geqslant 3\)，求证：\(a_{n}\geqslant n+2\)．
用数学归纳法证明不等式\( \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+⋯ \dfrac{1}{2n} > \dfrac{11}{24}(n∈{N}^{*}) \)的过程中，由 \(n\)\(=\)\(k\) 递推到 \(n\)\(=\)\(k\)\(+1\) 时，下列说法正确的是\((\) \()\)
由下列各式：\(1 > \dfrac{1}{2},1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1,1+ \dfrac{1}{2} > 1,1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2},1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2,... \)
猜想第\(n\)个表达式并用数学归纳法给予证明．
用数学归纳法证明“\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n(n∈N*,n > 1) ?\)”由\(n=k(k > 1)\)不等式成立，推证\(n=k+1\)时，左边应增加的项数是( )
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，通项公式为\({a}_{n}= \dfrac{1}{n} \)，\(f\left(n\right)=\begin{cases}{S}_{2n},n=1 \\ {S}_{2n}-{S}_{n-1},n\geqslant 2\end{cases} \)
\((1)\)计算\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)的值；
\((2)\)比较\(f(n)\)与\(1\)的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
用数学归纳法证明不等式\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < n(n\in {{N}^{*}}\)且\(n > 1)\)时，第一步应验证不等式\((\) \()\)
进入组卷