知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=
1
2
an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

难度：较难

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2．已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

难度：较难

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3．各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤
2n-1
对一切n∈N⁺恒成立．

难度：中等

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4．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．证明：
（1）当n＞2，且n∈N^*时，有a_n+1=a_n•a_n-1•…•a₂•a₁+1成立；
（2）1-
1
22010
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2010
＜1．

难度：较难

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5．试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
≥
3n
2n+1
（n∈N^*）．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x³-x²+
x
2
+
1
4
，且存在x₀∈（0，
1
2
），使f（x₀）=x₀．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=
1
2
，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：
yn+1-xn+1
yn-xn
＜
1
2
．

难度：较难

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8．数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+
1
n2+n
）a_n+
1
2n
（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=
x+3
x+1
（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-
3
|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤
(
3
-1)n
2n-1
；
（Ⅱ）证明S_n＜
2
3
3
．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，a₁=
1
2
，a_n+1=sin（
π
2
a_n）（n∈N^*）．
证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

难度：中等

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