知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．由下列式子　1＞
1
2

1+
1
2
+
1
3
＞1
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
＞
3
2

1+
1
2
+
1
3
+…+
1
15
＞2
…
猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．设函数f(x)=
x-1
x
log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且
1
m
+
1
t
=1，求证：tlo
g

2
m+mlo
g

2
t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2n
=1，求证：
lo
g

2
a1
a1
+
lo
g

2
a2
a2
+
lo
g

2
a3
a3
+…+
lo
g

2
a2n
a2n
≤n．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-
5
2
x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式
2
12
+
3
22
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)成立．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bn+1
bn
＞
n+1
成立．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-a
x
在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-
1
x2
在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2
x
+
3
x
，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

难度：难

解析收藏试题篮
8．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=
n
n-1
a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=
3n-1
an
（n∈N^∗），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n=
an+1
n+1
（n∈N^*），数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．函数数列{f_n（x）}满足：f1(x)=
x
1+x2
(x＞0)，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

难度：较难

解析收藏试题篮
10．设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
5
2
x，定义数列a_n：a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求证：an+1+an-1＜
5
2
an(n=1，2，…)；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(
1
2
)n（n∈N^*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=
A•4n+B
2n
成立；②当n=2，3，…时，有an＜
A•4n+B
2n
成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．

难度：难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷