知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．是否存在等差数列{b_n}，使得数列{a_n}与{b_n}满足a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n成立？证明你的结论．

难度：较难

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2．若f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞
n+1
．

难度：中等

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3．已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+
an
1+an
(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

难度：难

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4．已知数列{a_n}满足a₁=
2
5
，且对任意n∈N^*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令bn=
2
3
(
1
an
+5)，证明：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

难度：较难

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5．用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有
1
12
+
1
22
+
1
32
…
1
n2
＜2-
1
n
成立．

难度：中等

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6．设a＞2，给定数列{a_n}，a₁=a，a_n+1=
an2
2(an-1)
（n∈N⁺）．求证：a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N⁺）．

难度：较难

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7．设函数f_n（x）=C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（n∈N，n≥2），当x＞-1，且x≠0时，证明：f_n（x）＞0恒成立．

难度：较难

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8．用数学归纳法证明：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
n+n
＞
11
24
（n∈N，n≥1）

难度：中等

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9．证明不等式1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N^*）

难度：中等

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10．已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求证：
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n．

难度：中等

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