知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知正项数列{a_n}中， $a_%7B1%7D%3D1%EF%BC%8Ca_%7Bn%2B1%7D%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B1%2Ba_%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．用数学归纳法证明： $a_%7Bn%7D%EF%BC%9Ca_%7Bn%2B1%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，通项公式为 $\text{[math]}$ ．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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3．若f（n）=1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bn%7D%7D$ ，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞ $%20%5Csqrt%20%7Bn%2B1%7D$ ．

难度：较易

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4．已知数列{a_n}是等差数列，（1+
x
2
）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+
x
2
）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测
1
an
+
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
an2
与
1
3
的大小并证明．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＜
1
2
时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＞
3
4
-
2n+1
2n(n+1)
．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a1=3，
2-2an+1
an+1-3
=an(n∈N*)，记bn=
an-2
an+1
．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=
3
an+1
，求证：c1•c2•c3…cn＞
7
12
．

难度：较难

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7．已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

难度：中等

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8．设0＜a＜1，f(logax)=
a(x2-1)
(a2-1)x
，
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（a^x）+f（-2）＞f（2）+f（-a^x）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．

难度：较难

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9．试比较3ⁿ与（n+1）²（n∈N^*）的大小，并证明．

难度：中等

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10．设n∈N^*，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，试比较f（n）与
n+1
的大小．

难度：中等

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