知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 $%281-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求证 $%281-%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%5E%7Bm%7D$ ，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

难度：难

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2．
用数学归纳法证明：$1+\dfrac{n}{2}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}+n,(n\in {{N}^{*}})$。

难度：难

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3．

观察下列等式

$1 > \dfrac{1}{2} $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1 $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2} $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2 $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{31} > \dfrac{5}{2} $
$(1)$从上述不等式归纳出一个与正整数$n$有关的一般不等式；

$(2)$证明你归纳得到的不等式．

难度：难

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4．若$f(n)=1+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}}+…+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}$，$n∈N$，当$n\geqslant 3$时，证明：$f(n) > \sqrt {n+1}$．

难度：易

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5．
已知$f(n)=1+ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}}+···+ \dfrac{1}{ \sqrt{n}}(n∈{N}^{*}) $，$g(n)=2( \sqrt{n+1}-1)(n∈{N}^{*}) $．

$(1)$当$n=1$，$2$，$3$时，分别比较$f(n)$与$g(n)$的大小$($直接给出结论$)$；

$(2)$由$(1)$猜想$f(n)$与$g(n)$的大小关系，并证明你的结论．

难度：较难

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6．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，通项公式为${a}_{n}= \dfrac{1}{n} $，$f\left(n\right)=\begin{cases}{S}_{2n},n=1 \\ {S}_{2n}-{S}_{n-1},n\geqslant 2\end{cases} $

$(1)$计算$f(1)$，$f(2)$，$f(3)$的值；

$(2)$比较$f(n)$与$1$的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较难

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7．
已知$f(n)=1+ \dfrac {1}{2^{3}}+ \dfrac {1}{3^{3}}+ \dfrac {1}{4^{3}}+…+ \dfrac {1}{n^{3}}$，$g(n)= \dfrac {3}{2}- \dfrac {1}{2n^{2}}$，$n∈N^{*}$．
$(1)$当$n=1$，$2$，$3$时，试比较$f(n)$与$g(n)$的大小关系；
$(2)$猜想$f(n)$与$g(n)$的大小关系，并给出证明．

难度：中等

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8．
已知正项数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1,a_{n+1}=1+ \dfrac {a_{n}}{1+a_{n}}(n∈N^{*}).$用数学归纳法证明：$a_{n} < a_{n+1}(n∈N^{*})$．

难度：较难

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9．
已知 $.$用数学归纳法证明：．

难度：难

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10．
由下列式子　$1 > \dfrac {1}{2}$
$1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3} > 1$
$1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{5}+ \dfrac {1}{6}+ \dfrac {1}{7} > \dfrac {3}{2}$
$1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{15} > 2$
$…$
猜想第$n$个表达式，并用数学归纳法给予证明．

难度：中等

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