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          共50条信息

            • 1． 是否存在常数a、b、c使等式1•（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立？证明你的结论．
              难度：中等
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            • 2． 用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N+）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为an．
              （1）试用数学归纳法证明：an=
              3n+3(-1)n
              4
              (n∈N*，n≥1)              ；
              （2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：
              2
              9
              ≤P≤
              1
              3
              ．
              难度：较难
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            • 3． 数列{an}中，an+1=
              an2
              2an-2
              ，n∈N*．
              （I）若a1=
              9
              4
              ，设bn=log
              1
              3
              an-2
              an
              ，求证数列{bn}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
              （II）若a1＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：2＜an＜2+
              a1-2
              2n-1
              ．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N•）．记Sn=a1+a2+…+an．Tn=
              1
              1+a1
              +
              1
              (1+a1)(1+a2)
              +…+
              1
              (1+a1)(1+a2)…(1+an)
              ．
              求证：当n∈N•时，
              （Ⅰ）an＜an+1；
              （Ⅱ）Sn＞n-2．
              （Ⅲ）Tn＜3．
              难度：较难
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            • 5． 已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=
              xn(
              x
              2
              n
              +3)
              3
              x
              2
              n
              +1
              ，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．
              难度：难
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            • 6． 证明：xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）．
              难度：中等
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