知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 $%281-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求证 $%281-%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%5E%7Bm%7D$ ，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

难度：难

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2．

用数学归纳法证明“$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < n$ ”时，由$n=k(k > 1)$不等式成立，推证$n=k+1$时，左边应增加的项数是$($ $)$

A．${{2}^{k-1}}$

B．${{2}^{k}}-1$

C．${{2}^{k}}$

D．${{2}^{k}}+1$

难度：较易

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3．用数学归纳法证明：$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+⋯+ \dfrac{1}{{\left({2}^{n}-1\right)}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{n}-1}\left(n\geqslant 2\right) ( $$n$$∈N^{*})$时第一步需要证明

A．$1 < 2- \dfrac{1}{2-1} $

B．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

C．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

D．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

难度：难

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4．

用数学归纳法证明不等式$1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{4}+…+ \dfrac {1}{2^{n-1}} > \dfrac {127}{64}$成立，起始值至少应取为$($　　$)$

A．$7$

B．$8$

C．$9$

D．$10$

难度：较易

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5．
已知$f(n)=1+ \dfrac {1}{2^{3}}+ \dfrac {1}{3^{3}}+ \dfrac {1}{4^{3}}+…+ \dfrac {1}{n^{3}}$，$g(n)= \dfrac {3}{2}- \dfrac {1}{2n^{2}}$，$n∈N^{*}$．
$(1)$当$n=1$，$2$，$3$时，试比较$f(n)$与$g(n)$的大小关系；
$(2)$猜想$f(n)$与$g(n)$的大小关系，并给出证明．

难度：中等

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6．
用数学归纳法证明等式$1+2+3+…+(n+3)= \dfrac {(n+3)(n+4)}{2}(n∈N^{+})$时，第一步验证$n=1$时，左边应取的项是 ______

难度：较易

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7．

用数学归纳法证明：$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+…+ \dfrac {1}{(2^{n}-1)^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{n}-1}(n\geqslant 2)(n∈N^{*})$时第一步需要证明$($　　$)$

A．$1 < 2- \dfrac {1}{2-1}$

B．$1+ \dfrac {1}{2^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

C．$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

D．$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+ \dfrac {1}{4^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

难度：难

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