知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；
（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

难度：较难

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3．求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

难度：较难

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4．已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：
Sn+1
Sn
≤
3n+1
n
．

难度：较难

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5．已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}的通项公式为an=
n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
，n=2k(k∈N*).

设bn=
a2n-1
a2n
，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
1
n
．

难度：难

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7． [理]已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（
1
an-n+1
）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{
1
S
2
n
}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．

难度：中等

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9．已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

难度：较难

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10．各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤
2n-1
对一切n∈N⁺恒成立．

难度：中等

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