如图，\(A\)，\(B\)，\(C\)是圆\(O\)上不共线的三点，\(OD⊥AB\)于点\(D\)，\(BC\)和\(AC\)分别交\(DO\)的延长线于点\(P\)和点\(Q\)，求证：\(∠OBP=∠CQP\)．

选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，\(\triangle ABC\)的顶点\(A\)，\(C\)在圆\(O\)上，\(B\)在圆外，线段\(AB\)与圆\(O\)交于点\(M\)．

\((1)\) 若\(BC\)是圆\(O\)的切线，且\(AB=8\)，\(BC=4\)，求线段\(AM\)的长\(;\)

\((2)\) 若线段\(BC\)与圆\(O\)交于另一点\(N\)，且\(AB=2AC\)，求证：\(BN=2MN\)．

【选做题】在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四小题中只能选做\(2\)题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，圆\(O\)的直径\(AB=6\)，\(C\)为圆周上一点，\(BC=3\)，过点\(C\)作圆的切线\(l\)，过\(A\)作\(l\)的垂线\(AD\)，\(AD\)分别与直线\(l\)，圆\(O\)交于点\(D\)，\(E\)，求\(∠DAC\)的大小和线段\(AE\)的长．

B. 选修\(4-2:\)矩阵与变换

已知二阶矩阵\(M\)有特征值\(λ=8\)及对应的一个特征向量\(e_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)，且矩阵\(M\)对应的变换将点\((-1,2)\)变换成点\((-2,4)\)．

\((1)\) 求矩阵\(M;\)

\((2)\) 求矩阵\(M\)的另一个特征值．

C. 选修\(4-4:\)坐标系与参数方程

已知圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程分别为\(ρ=2\)，\(ρ^{2}-2\sqrt{2}ρ\cos \left( \theta\mathrm{{-}}\dfrac{\pi}{4} \right)=2\)．

\((1)\) 把圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程化为直角坐标方程\(;\)

\((2)\) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

D. 选修\(4-5:\)不等式选讲

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，且\(a+b+c=3\)，求\(\sqrt{3a{+}1}+\sqrt{3b{+}1}+\sqrt{3c{+}1}\)的最大值．

\((I)\)如图，过圆\(O\)外一点\(P\)作圆\(O\)的切线\(PA\)，切点为\(A\)，连接\(OP\)与圆\(O\)交于点\(C\)，过点\(C\)作\(AP\)的垂线，垂足为\(D.\)若\(PA=2\sqrt{5}\)，\(PC∶PO=1∶3\)，求\(CD\)的长．

\((II)\)已知矩阵\(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}\)，列向量\(X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\)，若\(AX=B\)，请直接写出\(A^{-1}\)，并求出\(X\)．

\((III)\)在平面直角坐标系中，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系\(.\)已知圆\(ρ=4\sin \left( \theta{+}\dfrac{\pi}{6} \right)\)被射线\(θ=θ_{0}\left( \rho{\geqslant }0\mathrm{{,}}\theta_{0}\mathrm{{为常数}}\mathrm{{,}}\mathrm{{且}}\theta_{0}\mathrm{{∈}}\left( 0\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)所截得的弦长为\(2\sqrt{3}\)，求\(θ_{0}\)的值．

\((IV)\)已知\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(2x+y=6\)，求\(4x^{2}+y^{2}\)的最小值．