知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在二项式（
3 x
-
1
2
3 x
）⁸的展开式中，第四项的系数为．

难度：中等

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2．若（x+
2
x
）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=
a
6
x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为．

难度：较易

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3．一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N^*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．
（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；
（Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？

难度：中等

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4．已知函数f（x）=a^x-x （a＞1）
（1）求证：
f′(x1)+f′(x2)
2
≥f′（
x1+x2
2
）；
（2）求函数f（x）的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；
（3）令S（n）=C

1
n
f′（1）+C

2
n
f′（2）+…+C

n-1
n
f′（n-1），求证：S（n）≥（2ⁿ-2）f′（
n
2
）．

难度：较难

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5．甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？

难度：中等

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6．某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束．甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：

出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号

获胜概率
1
2
p q
1
2

2
5
若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是
1
8
，比赛至少打满4场的概率为
3
4

（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲队获胜场数的分布列和数学期望．

难度：中等

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7．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6个，B箱装有红球4个，白球1个、黄球1个，现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球，若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜，为了保证公平性，A箱中的红球个数应为．

难度：中等

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