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          共50条信息

            • 1．
              在正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，已知\(AB=1\)，\(AA_{1}=2\)，\(E\)，\(F\)，\(G\)分别是\(AA_{1}\)，\(AC\)和\(A_{1}C_{1}\)的中点\(.\)以\(\{ \overrightarrow{FA}, \overrightarrow{FB}, \overrightarrow{FG}\}\)为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系\(F-xyz\)．
              \((1)\)求异面直线\(AC\)与\(BE\)所成角的余弦值；
              \((2)\)求二面角\(F-BC_{1}-C\)的余弦值．
              难度：易
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            • 2．
              如图，正方形\(ABCD\)与直角梯形\(ADEF\)所在平面互相垂直，\({∠}ADE{=}90^{{∘}}{,}AF{/\!/}DE{,}DE{=}DA{=}2AF{=}2\)，

              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AC{/\!/}\)平面\(BEF\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A{-}FD{-}B\)的正切值；
              难度：易
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            • 3． 如图，已知正方形\(ABCD\)和矩形\(ACEF\)所在的平面互相垂直，\(AB= \sqrt {2}\)，\(AF=1\)，\(M\)是线段\(EF\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证\(AM/\!/\)平面\(BDE\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-DF-B\)的大小．
              难度：易
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            • 4．

              如图所示，在棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)中，\(E,F \)分别为\({A}_{1}{D}_{1} \)和\(C{C}_{1} \)的中点．





              \((1)\)求证：\(EF/\!/ \)平面\(AC{D}_{1} \)；

              \((2)\)在棱\(B{B}_{1} \)上是否存在一点\(P \)，使得二面角\(P-AC-B \)的大小为\(30^{\circ} \)，若存在，求出\(BP \)的长；若不存在，请说明理由．

              难度：易
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            • 5．

              如图：在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PB⊥\)面\(ABC\)，\(\triangle ABC\)是直角三角形，\(∠B=90^{\circ}\)，\(AB=BC=2\)，\(∠PAB=45^{\circ}\)，点\(D\)、\(E\)、\(F\)分别为\(AC\)、\(AB\)、\(BC\)的中点．

              \((1)\)求证：\(EF⊥PD\)；

              \((2)\)求直线\(PF\)与平面\(PBD\)所成的角的正弦值；

              \((3)\)求二面角\(E-PF-B\)的正切值．

              难度：易
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            • 6．
              如图，在多面体\(ABCDEF\)中，四边形\(ABCD\)是正方形，\(EF/\!/AB\)，\(EF⊥FB\)，\(AB=2EF\)，\(∠BFC=90^{\circ}\)，\(BF=FC\)，\(H\)为\(BC\)的中点．
              \((1)\)求证：\(FH/\!/\)平面\(EDB\)；
              \((2)\)求证：\(AC⊥\)平面\(EDB\)；
              \((3)\)求二面角\(B-DE-C\)的大小．
              难度：易
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            • 7．

              如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)为\(BC\)的中点，\(PO\bot \)平面\(ABC\)，垂足\(O\)落在线段\(AD\)上\(.\)已知\(BC=8\)，\(PO=4\)，\(AO=3\)，\(OD=2\)．


              \((1)\)证明：\(AP\bot BC\)；

              \((2)\)在线段\(AP\)上是否存在点\(M\)，使得二面角\(A-MC-B\)为直二面角？若

              存在，求出\(AM\)的长；若不存在，请说明理由

              难度：易
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            • 8． 如图，四棱锥\(S-ABCD\)的底面是正方形，\(SD⊥\)平面\(ABCD\)，\(SD=2a\)，\(AD= \sqrt {2}a\)，点\(E\)是\(SD\)上的点，且\(DE=λa(0 < λ\leqslant 2)\)
              \((\)Ⅰ\()\)求证：对任意的\(λ∈(0,2)\)，都有\(AC⊥BE\)
              \((\)Ⅱ\()\)设二面角\(C-AE-D\)的大小为\(θ\)，直线\(BE\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(φ\)，若\(\tan θ⋅\tan φ=1\)，求\(λ\)的值．
              难度：易
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            • 9．
              如图，四棱锥\(S-ABCD\)的底面是正方形，\(SD⊥\)平面\(ABCD\)，\(SD=AD=a\)，点\(E\)是\(SD\)上的点，且\(DE=λ(0 < λ\leqslant 1)\)．
              \((1)\)求证：对任意的\(λ∈(0,1]\)，都有\(AC⊥BE\)；
              \((2)\)若二面角\(C-AE-D\)的大小为\(60^{\circ}\)，求\(λ\)的值．
              难度：易
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            • 10．
              如图，在矩形\(ABCD\)中，点\(E\)为边\(AD\)上的点，点\(F\)为边\(CD\)的中点，\(AB=AE= \dfrac {2}{3}AD\)，现将\(\triangle ABE\)沿\(BE\)边折至\(\triangle PBE\)位置，且平面\(PBE⊥\)平面\(BCDE\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(PBE⊥\)平面\(PEF\)；
              \((\)Ⅱ\()\) 求二面角\(E-PF-C\)的大小．
              难度：易
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