知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为3万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7B3x%2B5%7D$ （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为4万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式．
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

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2．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= $%20%5Cfrac%20%7B%5Ctext%7B%E8%B4%AD%E5%9C%B0%E6%80%BB%E8%B4%B9%E7%94%A8%7D%7D%7B%5Ctext%7B%E5%BB%BA%E7%AD%91%E6%80%BB%E9%9D%A2%E7%A7%AF%7D%7D$ ）

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3．已知函数 $f%28x%29%3Dlnx-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4x%7D-1$ ．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=-x²+2bx-4，（1≤b≤2），若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

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4．设函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x²+e^x-xe^x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

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5．已知函数f（x）=x- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ax²-ln（1+x），其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

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6．已知函数f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x＞0时， $f%28x%29%E2%89%A51-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ ；
（Ⅲ）若x-1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．

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7．已知函数f（x）=e^x（e^x-a）-a²x．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

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8．已知f（x）=lnx-ax，（a∈R），g（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

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9．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）当k=e时，证明f（x）≥0恒成立；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

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10．直线y=m分别与曲线y=2（x+1），与y=x+lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为 ______ ．

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