知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面积为 $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7D$ 的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，C₁B⊥面ABC，C₁B=3．
（1）若AB的中点为S，证明：CS⊥C₁A．
（2）设 $T%283-%CE%BB%EF%BC%8C%CE%BB%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B4%CE%BB%2B3%7D%7B2%7D%29$ ，是否存在实数λ，使得直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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2．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，SB=SC= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；
（2）求证：SA⊥BC；
（3）求直线SD与面SAB所成角的正弦值．

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3．（2016秋•历下区校级期末）已知如图，PA、PB、PC互相垂直，且长度相等，E为AB中点，则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为．

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4．如图所示，在棱长为2的正方体AC₁中，点P，Q分别在棱BC、CD上，满足B₁Q⊥D₁P，且PQ= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（1）试确定P、Q两点的位置．
（2）求B₁Q与平面APQ所成角的正弦值．

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5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰三角形，且平面B₁BCC₁⊥平面ABC，C₁B⊥BC，M是线段AB上的点，且∠ACM=∠BCM=60°，CA=CB= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ C₁B．
（Ⅰ）求证：CM⊥AC₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面B₁CM所成角的正弦值．

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6．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A₁A=1， $AB%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，AC=2，E、F分别为棱C₁C、BC的中点．
（Ⅰ）求证 AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求直线EF与A₁B所成的角；
（Ⅲ）若G为线段A₁A的中点，A₁在平面EFG内的射影为H，求∠HA₁A．

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7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为 $3%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ；
（2）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

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