知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，E、F分别为BC与PD的中点．
（1）求证：PE⊥DE；
（2）求直线CF与平面PAC的夹角θ的余弦值．

难度：较易

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2．如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．
（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；
（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．

难度：较易

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3．如图，在Rt△AOB中，∠OAB= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．

难度：较易

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4．如图，在Rt△AOB中， $%E2%88%A0OAB%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以
直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）

难度：较易

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5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=8，BC=5，AA₁=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A₁E=D₁F=2，AH=DG=5．
（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．

难度：较易

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6．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC， $AB%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，BC=2，AC=1．
（1）求证：AB⊥AD；
（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30^°，求四面体ABCD外接球的表面积．

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7．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O-xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点 $D%280%EF%BC%8C-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ．
（1）求D，C两点在球O上的球面距离；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．

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8．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，边长为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，每条侧棱的长都是底面边长的 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求CP与平面SBC所成角的正弦值．

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9．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是以AD为底的等腰三角形．
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD的体积等于 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，试求PB与平面PCD所成角的正弦值．

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10．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M，N分别是PD，DC的中点
（Ⅰ）判断直线MN与平面PAC的位置关系，并给予证明
（Ⅱ）求三棱锥P-AMN的体积．

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