知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设a∈R，f（x）=|x-a|+（1-a）x．
（I）解关于a的不等式f（2）＜0；
（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．设h（x）=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=nin{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，则，f₂（x）=1，x∈[0，π]，
（理）当m=1时，设M（x）=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），等差数列{b_n}满足b₆=6，b₉=12，
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N^*，（S_n+
1
3
）•k≥b_n恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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4．定义D上函数f（x）满足：如果对任意x₁，x₂∈D，都有f（
x1+x2
2
）≥
1
2
[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）是D上的凸函数．
（1）判断函数y=
x
是否为凸函数？为什么？
（2）若函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上是凸函数，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当x∈（0，1]时，不等式f（mx²+x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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5．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax²-2bx-a+b，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若-1≤f（x）≤1对任意的x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=e^x+6x，g（x）=
a
x-3
+6．
（Ⅰ）若x＞3时f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的零点个数．

难度：中等

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7．已知不等式（x-1）m＜2x-1对m∈（0，3）恒成立，求实数x的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=x²+ax+1．
（1）解不等式f（x）＞0．
（2）若f（x）在x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．已知f（x）=|2x+1|+|x-
1
2
|（x∈R）．
（1）关于x的不等式f（x）≥2a²-a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设m，n，p，q为正实数，且m+n=f（-
1
2
），求证：（mp+nq）²≤mp²+nq²．

难度：中等

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10．已知不等式x²-kx+k-1＞0．
（1）若k=2，求不等式x²-kx+k-1＞0的解集；
（2）若不等式x²-kx+k-1＞0对x∈（1，2）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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