知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足3S_n-4a_n+2=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n为{b_n}的前n项和，求证：
n
k=1
1
T k
＜2．

难度：中等

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2．（1）求和：S_n=1
1
2
+2
1
4
+3
1
8
+…+(n+
1
2n
)．
（2）a_n=
1
n(n+2)
，n∈N+，求此数列的前n项和S_n．

难度：中等

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3．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求证：
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜1．

难度：中等

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4．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=log₂a_n．
（I）求b_n，S_n；
（Ⅱ）设cn=bn•(
2Sn
n
+1)，求数列{an+
1
cn
}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=5S₂，2a₁+1=a₃．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=
1
anan+1
，求{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，则数列{
1
anan+1
}的前200项和为．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}满足a₁=2和3a_n+1=a_n，n=1，2，…，
（1）证明：数列{a_n}为等比数列，并写出它的通项公式；
（2）记b_n=a_n+n，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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8．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（I）证明：数列{
an
n
}是等差数列；
（Ⅱ）若T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n，求T_n．

难度：中等

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9．已知数列{an}的前n项和S_n满足关系式：
S_n=（
1+an
2
）²且a_n＞0．
（1）写出S_n与S_n-1（n≥2）的递推关系式，并求出S_n关于n的表达式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ•S_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1），求数列{
bn
an+1
}的前n项和T_n，并证明：
1
2
≤T_n＜2．

难度：中等

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