知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知集合A={a₁，a₂，…a_n}（n∈N^*），规定：若集合A₁∪A₂∪…∪A_m=A（m≥2，m∈N^*），则称{A₁，A₂，…，A_m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A₁=B₁，A₂=B₂，…A_m=B_m时，{A₁，A₂，…，A_m}与{B₁，B₂，…，B_m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f_n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a₁}的所有分拆为：{a₁}∪{a₁}，{a₁}∪∅，∅∪{a₃}，即f₁（2）=3．
（1）求f₂（2）；
（2）试用m、n表示f_n（m）；
（3）证明：
m
i=1
f_n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f_n（1）=1）

难度：中等

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2．命题：“若m≤0，或n≤0，则m+n≤0”．
（1）写出上面命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假；
（2）说明原命题中条件与结论的充分性与必要性．

难度：中等

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3．（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

难度：中等

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4．已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

难度：中等

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5．设集合S含有n个元素，A₁，A₂，…，A_k是S的不同子集，它们两两的交集非空，而S的其他子集不能与A₁，A₂，…，A_k都相交，求证：k=2^n-1．

难度：中等

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6．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=
a+b
1+ab
．
（1）求证：a*b=S；
（2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

难度：中等

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7．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=ax²+bx+c中，a+b+c=0，a＞b＞c．
（1）证明函数f（x）有两个不同的零点；
（2）若存在x∈R，使ax²+bx+a+c=0成立．
①试判断f（x+3）的符号，并说明理由；
②当b≠0时，证明关于x的方程ax²+bx+a+c=0在区间（
c
a
，0），（0，1）内各有一个实根．

难度：中等

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9．已知集合A={x|x=3a+5b，a，b∈Z}，B={y|y=7m+10n，m，n∈Z}，试证明：A=B．

难度：中等

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10．已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．

难度：中等

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