知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如表所示：
分数段（分） [50，70） [70，90） [90，110） [110，130） [130，150）总计
频数 20 40 70 50 20 200
（Ⅰ）若成绩90分以上（含90分），则成绩为及格，请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数；
（Ⅱ）如果样本数据中，有60名女生数学成绩合格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．
女生男生总计
及格人数 60
不及格人数
总计
参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
P（K²≥k₀） 0.10 0.050 0.010
k₀ 2.706 3.841 6.635

难度：中等

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2．对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的2×2列联表：
有心理障碍没有心理障碍总计
女生 10 30
男生 70 80
总计 20 110
将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？附：X²=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2

P（X²≥x₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
x₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

难度：中等

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3．通过随机询问某校高二年级学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
男生女生总计
看营养说明 50 30 80
不看营养说明 10 x y
总计 60 z 110
参考数据：
P（K²≥K） 0.10 0.05 0.01 0.005
K 2.706 3.841 6.635 7.879
参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(b+d)(a+c)(c+d)
，n=a+b+c+d
（1）写出x，y，z的值
（2）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别在购买食物时看营养说明”有关？
（3）从女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取容量为5的样本，再从这5名女生中随机选取两名作深度访谈．求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率．

难度：中等

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4．某研究机构对高二学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据
x 6 8 10 12
y 3 4 6 7
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
y
=
b
x+
a
；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
（
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2
，
a
=
.
y
-
b
.
x
）

难度：中等

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5．某校学习小组开展“学生数学成绩与化学成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期数学和化学成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和化学都优秀的有60人，数学成绩优秀但化学不优秀的有140人，化学成绩优秀但数学不优秀的有100人．
（Ⅰ）补充完整表格并判断能否在犯错概率不超过0.001前提下认为该校学生的数学成绩与化学成绩有关系？
数学优秀数学不优秀总计
化学优秀
化学不优秀
总计
（Ⅱ）现有4名成员甲、乙、丙、丁随机分成两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理．求学生甲分到负责收集成绩组，学生乙分到负责数据处理组的概率．
p（K²＞k₀） 0.010 0.005 0.001
k₀ 6.635 7.879 10.828
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：中等

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6．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
（1）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，根据独立性检验，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？
（2）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
（3）在上述（2）中抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．
参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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7．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．其中女性有55名．图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40min的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列表．
非体育迷体育迷总计
男
女
总计
（2）能否说在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“体育迷”与性别有关？
P（K²≥k₀） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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8．为了了解在校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男生女生合计
   收看   10
  不收看    8
合计   30
已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是
8
15
．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？
（Ⅱ）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为X，求X的分布列和均值．

难度：中等

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9．颈椎病是一种退行性病变，多发于中老年人，但现在年轻的患者越来越多，甚至是大学生也出现了颈椎病，年轻人患颈椎病多与工作、生活方式有关，某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关，在某医院随机的对入院的50名大学生进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
患颈椎病不患颈椎病合计
过度使用 20 5 25
不过度使用 10 15 25
合计 30 20 50
（I）是否有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关？
（Ⅱ）已知在患有颈锥病的10名不过度使用电子产品的大学生中，有3名大学生又患有胃病，现在从上述的10名大学生中，抽取3名大学生进行其他方面的排查，记选出患胃病的学生人数为ɛ，求ɛ的分布列，数学期望以及方差．
（参考数据与公式：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．）

难度：中等

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10．高一年级下学期进行文理分班，为研究选报文科与性别的关系，对抽取的50名同学调查得到列联表如下，已知
P（k²≥3.84）≈0.05，（k²≥5.024）≈0.025，计算k²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
≈4.848，则至少有的把握认为选报文科与性别有关．

难度：中等

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分数段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150）	总计
频数	20	40	70	50	20	200

	有心理障碍	没有心理障碍	总计
女生	10		30
男生		70	80
总计	20		110

P（X²≥x₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
x₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	数学优秀	数学不优秀	总计
化学优秀
化学不优秀
总计

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

P（K²≥k₀）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	患颈椎病	不患颈椎病	合计
过度使用	20	5	25
不过度使用	10	15	25
合计	30	20	50

	非体育迷	体育迷	总计
男
女
总计