知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•荆州校级月考）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为2
3
．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线y=
1
2
x+m与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

难度：中等

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2．（2016•扬州一模）如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，P是椭圆上一点，M在PF₁上，且满足
F1M
=λ
MP
（λ∈R），PO⊥F₂M，O为坐标原点．
（1）若椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1，且P（2，
2
），求点M的横坐标；
（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，离心率为
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点A（0，-2）且斜率为k（k≠0）直线l与椭圆C交于不同两点P、Q，当线段PQ的长度为
4•
2
5
时，求三角形OPQ（O为坐标原点）的面积．

难度：中等

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4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，且
PF1
•
PF2
=0，求△F₁PF₂的面积．

难度：中等

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5．已知定点 A（-
1
2
，0），B是圆C：（x -
1
2
）²+y²=4上的一个动点，线段AB的垂直平分线交BC于M点，求动点M的轨迹方程．

难度：中等

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6．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的左右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2
5
，点P为椭圆短轴的端点，且△PF₁F₂的面积为2
5
}．
（1）求椭圆的方程；
（2）点Q是椭圆上任意一点，A（4
5
，6），求|QA|-|QF₁|的最小值；
（3）点B(1，
4
2
3
)是椭圆上的一定点，B₁，B₂是椭圆上的两动点，且直线BB₁，BB₂关于直线x=1对称，试证明直线B₁B₂的斜率为定值．

难度：中等

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7．设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
1
2
，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为28
3
，求椭圆C的方程．

难度：中等

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8．已知椭圆Г：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），长轴长是短轴长的2倍，直线l与椭圆Г交于A，B两点，且M（-2，1）是AB的中点．
（1）求直线l的斜率；
（2）若|AB|=
10
，求椭圆Г的标准方程．

难度：中等

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9．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M（4，1），N（2，2）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=
16
3
5
，求直线l的方程．

难度：中等

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10．已知圆C₁：x²+y²=r²与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）于x轴的交点重合，且椭圆C₂的离心率为
2
2
，圆C₁上的点到直线l：x=-2
2
的最短距离为2
2
-2．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）如图过直线1上的动点T作圆C₁的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C₂交于不同的两点C、D，求△OCD面积的最大值．

难度：中等

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