知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

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3．已知函数f（x）=aln（x-a）-
1
2
x²+x（a＜0）．
（1）当a=-2时，求f（x）在[-
3
2
，2]上的最小值（参考数据：ln2=0.6931）；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

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4．设函数f（x）=

lnx+x+a

，若曲线y=

e-1

sinx+

e+1

上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．[0，e²-e+1]

B．[0，e²+e-1]

C．[0，e²-e-1]

D．[0，e²+e+1]

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5．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

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6．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

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7．已知f（x）=e^x-ax．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值集合；
（2）若方程f（x）=a（lnx-x+1）（a＞0）有两个不等的实数根，x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求证：
1
a
＜x₁＜1＜x₂＜a．

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8．已知函数f（x）=
1
x•sinθ
+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），g（x）=tx-
t-1+2e
x
-lnx，t∈R．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）当t=0时，求函数g（x）的单调区间和极大值；
（Ⅲ）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得g（x₀）＞f（x₀）成立，求t的取值范围．

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9．已知a∈R，函数f（x）=lnx-ax²（x∈（1，2），集合D⊆R⁺．
（Ⅰ）若f（x）＞0，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，2），任意t∈D，有
x-1
f(x)
＞t，求a的值和集合D．

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10．已知函数f（x）=x-alnx+
1-a
x
（a∈R），g（x）=x-1．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在a∈（3，+∞），对任意x₁∈[
1
e
，1]，总存在x₂∈[
1
e
，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立．若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

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