知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
1
2
ax2+2x+（2-a）lnx，
（1）当a=-2时，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求正数a的取值范围．

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2．已知函数f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

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3．已知函数f（x）=
ax
1+x2
+1（a≠0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若a＞0，g（x）=x²e^mx，且对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

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4．设函数f（x）=x-
1
x
-mlnx
（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；
（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x-lnx-
1
e
，∃x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，求m的范围．

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5．已知函数f（x）=
x+1
ex

（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）设定义在[0，1]上的函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x（t∈R）的最大值为M，最小值为N，且M＞2N，求实数t的取值范围．

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6．已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若a=0，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）满足f（1）=2且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当
1
e
＜x＜y＜1时，试比较
y
x
与
1+lny
1+lnx
的大小．

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7．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a为实数）
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值h（t）；
（3）若对任意x∈[
1
e
，e]，都有g（x）≥2e^xf（x）成立，求实数a的取值范围．

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8．己知函数f（x）=
1
3
x3-ax2-3ax+b，实数a＞0，b＞0．若函数f（x）在x=0处的切线斜率为-3，
（1）试确定a的值；
（2）若b=0，求f（x）的极大值和极小值；
（3）若当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范围．

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9．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=
x2
λ+x
-alnx．
（1）当a=
3
4
λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x₀，当x＞x₀时，f（x）＞0．

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10．已知f（x）=e^2x+（1-2t）e^x+t²
（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范围．

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