知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^x（x-lnx-1）（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，并说明理由．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
lnx
x
（x∈（0，+∞））．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x≥1，都有f（x）≥k（x+
3
x
）+2，求实数k的取值范围．

难度：较难

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3．已知f（x）=
m
x+1
+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y-2=0．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若任意实数x∈[
1
e
，1]，使得对任意的t∈[
1
2
，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求实数a的取值范围．

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4．已知函数f（x）=lnx-
a
x
．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为
3
2
，求实数a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

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5．已知函数f（x）=
1+lnx
x
．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+
1
3
）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=
1+x
a(1-x)
[xf（x）-1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

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6．已知f（x）=xlnx，g（x）=
ax2
2
，直线l：y=（k-3）x-k+2
（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值
（2）若至少存在一个x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围
（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

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7．设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当0＜a＜
1
2
时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）当a=-1时，关于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

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8．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1-
1
x
）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上
f(x)
x-1
＞1恒成立，求实数a的取值范围．

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9．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

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10．已知函数φ（x）=
a
x+1
，a为常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=
9
2
，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，当x₁≠x₂时，都有
g(x2)-g(x1)
x 2-x 1
＜-1，求a的取值范围．

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