知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=lnx
（Ⅰ）若曲线g（x）=f（x）+
a
x
在x=2处的切线与直线x+4y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求证：函数φ（x）=f（x）-
2(x-1)
x+1
在（0，+∞）上为单调增函数；
（Ⅲ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A、B两点，点M（x₀，y₀）为线段AB的中点，求证：kx₀＞1．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ax²-
1
2
x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤
1
2
x恒成立，求实数a的取值范围．

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3．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．

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4．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

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5．已知函数f（x）=
1
2
x²-mlnx，g（x）=
1
2
x²-2x，F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m=-1时，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=F（x）相切？说明理由．

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6．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）≥x-1；
（Ⅲ）若f(x)≥ax2+
2
a
(a≠0)在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．

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7．已知函数f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

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8．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

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9．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

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10．已知承数f（x）=
1+μln(x+1)
λx
（λ，μ∈R），g（x）=
k
x+1
，若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-（
1
2
+1n2）x+
3
2
+2ln2．
（1）求λ，μ的值；
（2）求最大的正整数k，∀c＞0，∃b∈（-1，c），且f（c）=g（b）．

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