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          共50条信息

            • 1． 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=x3-x2+3x-+，则的值是（　　）
              A．2010
              B．2011
              C．2012
              D．2013
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 ______ ．
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            • 3． 过点（-1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（　　）
              A．2x+y+2=0
              B．3x-y+3=0
              C．x+y+1=0
              D．x-y+1=0
              难度：较难
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            • 4． 如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行，求切点坐标与切线方程．
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            • 5． 已知函数f（x）=xlnx（x＞0）
              （1）试求函数f（x）的单调区间和极值；
              （2）若g（x）=f′（x），直线y=kx+b与曲线g（x）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）不同两点，若x0=
              x1+x2
              2
              试证明k＞g′（x0）
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            • 6． 已知函数f(x)=lnx-
              1
              2
              ax2+bx              （a＞0），且f′（1）=0．
              （Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
              （Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当x0=
              x1+x2
              2
              时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．
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            • 7． 已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
              2
              5
              ．
              （Ⅰ）求f（x）的解析式；
              （Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
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            • 8． 已知函数f（x）=x3+3ax-1，a∈R．
              （Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
              （Ⅱ）设函数g（x）=f′（x）-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求实数x的取值范围；
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            • 9． 我们把y=xm（m∈Q）叫做幂函数．幂函数y=xm（m∈Q）的一个性质是：当m＞0时，在（0，+∞）上是增函数；当m＜0时，在（0，+∞）上是减函数．设幂函数f（x）=xn（n≥2，n∈N）．
              （1）若gn（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），证明：
              an
              2n-1
              ≤gn(x)＜an
              （2）若gn（x）=f（x）-f（x-a），对任意n≥a＞0，证明：gn′（n）≥n!a．
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            • 10． 已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．
              （Ⅰ）用xn表示xn+1；
              （Ⅱ）证明：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2
              （Ⅲ）若x1=4，记an=lg
              xn+2
              xn-2
              ，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．
              难度：较难
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