知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．等比数列{a_n}中，已知a₃=8，a₆=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，试求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n．

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2．在等比数列{a_n}中，已知 $a_%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%C2%A0%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0a_%7B5%7D%3D4$ ，则此数列的公式比为 ______ ．

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3．在等比数列{a_n}中，已知a₃=6，a₃+a₅+a₇=78，则a₅=（　　）

A．12

B．18

C．24

D．36

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4．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的容积为（　　）

A．3升

B． $%20%5Cfrac%20%7B31%7D%7B6%7D$ 升

C．4升

D． $%20%5Cfrac%20%7B32%7D%7B7%7D$

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5．等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₃是a₂与a₆的等比中项，2a₁+3a₂=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和S_n．

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6．设数列{a_n}是等比数列， $a_%7B1%7D%3D%20C_%7B%202m%2B3%20%7D%5E%7B%203m%20%7D%E2%8B%85%20A_%7B%20m-2%20%7D%5E%7B%201%20%7D$ ，公比q是 $%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4x%5E%7B2%7D%7D%29%5E%7B4%7D$ 的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若 $A_%7Bn%7D%3D%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%201%20%7DS_%7B1%7D%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7DS_%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%20n%20%7DS_%7Bn%7D$ ，用n，x表示A_n．

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7．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bn+1
bn
＞
n+1
成立．

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8．已知数列{a_n}满足a1=3，
2-2an+1
an+1-3
=an(n∈N*)，记bn=
an-2
an+1
．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=
3
an+1
，求证：c1•c2•c3…cn＞
7
12
．

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9．已知函数f(x)=1+
2
x
，数列{x_n}满足x₁=
11
7
，x_n+1=f（x_n）；若b_n=
1
xn-2
+
1
3
．
（1）求证数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

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10．设函数f（x）满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：a_n+1=3f（a_n）-1（n∈N⁺），且a₁=1，求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）求证：
3
2
≤（1+
1
2f(n-1)
）^f（n-1）＜2，（n∈N⁺）

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