知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设复数z_n=x_n+i•y_n，其中x_ny_n∈R，n∈N^*，i为虚数单位，z_n+1=（1+i）•z_n，z₁=3+4i，复数z_n在复平面上对应的点为Z_n．
（1）求复数z₂，z₃，z₄的值；
（2）是否存在正整数n使得
OZn
∥
OZ1
？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；
（3）求数列{x_n•y_n}的前102项之和．

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2．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，若a_n（2+sin
nπ
2
）=n（2+cosnπ），且S_4n=an²+bn，则a-b= ．

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3．已知数列{a_n}满足a_n+2=
an+2，n为奇数
2an，n为偶数
，．且n∈N^*，a₁=1，a₂=2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1，n∈N^*，求数列{b_n}的前2n项和S_2n；
（3）设c_n=a_2n-1a_2n+（-1）ⁿ，证明：
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+…+
1
cn
＜
5
4
．

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4．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

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6．设数列{a_n}的各项均为正数，{a_n}的前n项和Sn=
1
4
(an+1)2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）等比数列{b_n}的各项均为正数，bnbn+1≥Sn2，n∈N^*，且存在整数k≥2，使得bkbk+1=Sk2．
（i）求数列{b_n}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当n≥2时，bn∈N*，求数列{b_n}的通项公式．

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7．（2016•温州一模）如图，已知曲线C₁：y=
2x
x+1
（x＞0）及曲线C₂：y=
1
3x
（x＞0），C₁上的点P₁的横坐标为a₁（0＜a₁＜
1
2
）．从C₁上的点P_n（n∈N₊）作直线平行于x轴，交曲线C₂于点Q_n，再从点Q_n作直线平行于y轴，交曲线C₁于点P_n+1．点P_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}
（Ⅰ）试求a_n+1与a_n之间的关系，并证明：a_2n-1＜
1
2
＜a2n(n∈N+)；
（Ⅱ）若a₁=
1
3
，求证：|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n+1-a_n|＜
4
3
(n∈N+)．

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8．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

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9．已知数列{a_n}满足：a₁a₂…a_n=1-a_n，n∈N^*．
（1）证明：{
1
1-an
}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=
1(n=1)
a1a2…an-1(n≥2)
（n∈N^*），S_n=T₁+T₂+…+T_n，证明：
1
2
≤S_2n-S_n＜
3
4
．

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10．已知数列{a_n+1}是等比数列，a₃=3，a₆=31，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=
1
2
n（n+1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
bn
an+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n≥m-
9
2n
对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

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