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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}的前n项和为构成数列{bn}，数列{bn}的前n项和构成数列{cn}．若bn=(2n-1)•3n+4，则
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）求数列{cn}的通项公式．
              难度：较难
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            • 2． 已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an，n∈N*，且a5=
              π
              2
              ，若函数f（x）=sin2x+2cos2
              x
              2
              ，记yn=f（an），则数列{yn}的前9项和为（　　）
              B．-9
              C．9
              D．1
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            • 3． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，向量
              AB
              =（Sn，
              1
              4
              -an），其中n∈N*，
              CD
              =（1，-
              1
              2
              ），且满足
              AB
              ∥
              CD
              ．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1a4a7…a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
              （3）若数列对任意的n∈N*都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-
              n
              2
              -1，求数列{bn}的通项公式．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，an+1=
              an
              3
              ，an=3l，l∈N*
              an+1，an≠3l，l∈N*
              令集合A={x|x=an，n∈N*}．
              （I）若a4是数列{an}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
              （II）求证：{1，2，3}⊆A；
              （III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．
              难度：较难
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            • 5． 设各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn=(an+1)2（n∈N*）．
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设数列{bn}的通项公式为bn=
              an
              an+t
              （t∈N*），若b1，b2，bm（m≥3，m∈N*）成等差数列，求t和m的值；
              （Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列{an}中的三项an1，an2，an3．
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            • 6． 已知数列{an}的前n项和为Sn=
              3
              2
              n2-
              5
              2
              n+5，cn=1-
              3
              an
              (n∈N*)              ．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）若ci•ci-1＜0（i∈N*），则称i是一个变号数，求数列{cn}的变号数的个数；
              （3）根据笛卡尔符号法则，有：若关于实数x的方程anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x =0的所有素数均为实数，则该方程的正根的个数等于{an}的变号数的个数或比变号数的个数多2的倍数，动用以上结论证明：方程c1x3+c2x2-c3x +c4=0没有比3大的实数根．
              难度：较难
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            • 7． 已知数列{an}满足a1=0，an+1+Sn=n2+2n（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，则此数列的通项公式为    ．
              难度：较难
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            • 8． 数列{an}满足a1=
              1
              2
              ，an+1=
              1
              2-an
              （n∈N*）．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
              n+2
              2
              ；
              （III）证明：
              n
              2
              -(
              a12
              a1+a2
              +
              a22
              a2+a3
              +…+
              an2
              an+a1
              )＜ln
              		n+1
              ．
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            • 9． 已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=
              1
              xn+2
              的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
              11
              7
              ．
              （I）求xn与xn+1的关系式；
              （II）令bn=
              1
              xn-2
              +
              1
              3
              ，求证：数列{bn}是等比数列；
              （III）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．
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            • 10． 在各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn满足2Sn+1=an（2an+1），n∈N*．
              （Ⅰ）证明{an}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
              （Ⅱ）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足an=nxn，Sn=n2yn，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与x轴、直线x=a，x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x3，xk]上的面积．
              难度：较难
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