知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

难度：较难

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁，F₂，M是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△MF₁F₂的周长为4+2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=
4
3
上动点P（x₀，y₀）（x₀•y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交与不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

难度：较难

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3．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的离心率e=
6
3
，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，
OA
•
OC
=
3
2

（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在两点E，F使
OE
+
OF
=λ
OA
，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
1
2
，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为
10
，抛物线D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
（Ⅰ）求椭圆C与抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上两个不同点，且OA⊥OB，判定原点O到直线AB的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．

难度：较难

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），抛物线x²=2py上的点（
2
，1）处的切线经过椭圆C的下顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F₁的动直线l交椭圆C于A、B两点（异于长轴端点）．请问是否存在实常数λ，使得|
F2A
-
F2B
|=λ
F1A
•
F2B
恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求△ABF₂（F₂为椭圆C的右焦点）内切圆面积的取值范围．

难度：较难

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且|A₁A₂|=4，P为椭圆上异于A₁，A₂的点，PA₁和PA₂的斜率之积为-
3
4
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为椭圆中心，M，N是椭圆上异于顶点的两个动点，求△MON面积的最大值．

难度：较难

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A(-
2
2
，
3
2
)，离心率为
2
2
，点F₁，F₂分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且
OP
⊥
OQ
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A₁A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂为坐标原点，若直线A₁B₂的斜率为-
1
2
，△A₁OB₂的斜边上的中线长为
5
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆C上异于A₁，A₂，B₁，B₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

难度：较难

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9．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x₀，y₀）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F₁（-2，0），F₂（2，0）围成的三角形的周长恒为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点Q（x，y）到点F₂与到K（8，0）距离之比为
1
2
，求点Q的轨迹E的方程；
（3）设直线PB，QB的斜率分别为k₁，k₂，且4k₁=3k₂，证明：A，P，Q三点共线．

难度：较难

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10．已知F（1，0）椭圆C₁的右焦点且F为双曲线C₂的右顶点，椭圆C₁与双曲线C₂的一个交点是M（
2
3
3
，
3
3
）．
（Ⅰ）求椭圆C₁及双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若点P是双曲线右支上的动点，直线PF交y轴于点Q，试问以线段PQ为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．

难度：较难

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