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          共50条信息

            • 1． 如图，已知椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0）d的离心率为
              		2
              2
              ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（
              		2
              +1              ）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
              （1）求椭圆和双曲线的标准方程；
              （2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 2． 已知椭圆Γ：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1(a＞b＞0)              的离心率为
              		2
              2
              ，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合．
              （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
              （Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 3． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=8x的焦点为F，椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=
              1
              2
              ，且F是椭圆Σ的一个焦点．
              （1）求椭圆Σ的标准方程；
              （2）过F作垂直于x轴的直线，与椭圆Σ相交于A、B两点，试探究在椭圆Σ上是否存在点P，使△PAB为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 4． 已知常数a＞0，向量
              m
              =（0，a），
              n
              =（1，0）经过定点A（0，-a）以
              m
              +λ
              n
              为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以
              n
              +2λ
              m
              为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．
              （I）求点P的轨迹C的方程；
              （Ⅱ）若a=
              		2
              2
              ，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求
              EM
              •
              EN
              的取值范围．
              难度：较难
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            • 5． 如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn） 是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
              （1）求a1、a2、a3的值；
              （2）求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an和点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1的关系式；
              （3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：较难
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            • 6． 已知椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的离心率e=
              		3
              2
              ，且短半轴b=1，F1，F2为其左右焦点，P是椭圆上动点．
              （Ⅰ）求椭圆方程．
              （Ⅱ）当∠F1PF2=60°时，求△PF1F2面积．
              （Ⅲ）求
              PF1
              •
              PF2
              取值范围．
              难度：较难
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            • 7． 设F1、F2分别为椭圆C：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
              （Ⅰ） 若椭圆C上的点A（1，
              3
              2
              ）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和离心率；
              （Ⅱ） 若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M、N外的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，求证：kPM•kPN为定值．
              难度：较难
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            • 8． 如图，椭圆C：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的左焦点为F(-2
              		3
              ，0)              ，上下顶点分别为A，B，已知△AFB是等边三角形．
              （Ⅰ）求椭圆C的方程；
              （Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l交椭圆C于M、N两点，求证：|MN|=
              8
              4-3cos2α
              ．
              难度：较难
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            • 9． 如图，椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、
              F2（1，0），M、N是直线x=a2上的两个动点，且
              F1M
              •
              F2N
              =0              ．
              （1）设曲线C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
              （2）若以MN为直径的圆中，最小圆的半径为2
              		2
              ，求椭圆的方程．
              难度：较难
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            • 10． 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
              （1）求抛物线C的方程．
              （2）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE和△BDF；按此方法继续下去．
              解决下列问题：
              ①求证：a2=
              16(1-kb)
              k2
              ；
              ②计算△ABD的面积S△ABD；
              ③根据△ABD的面积S△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
              难度：较难
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