知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知双曲线

=1(a＞0，b＞0)经过一、三象限的渐近线为m，若圆x2+y2-2

x-2

y+6=0上至少有三个不同的点到m的距离为1，则此双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A．[

，2

]

B．(1，

]

C．[

，

]

D．[

，2

]

难度：较难

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2．已知双曲线

=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4

，虚轴的一个端点与抛物线x²=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

难度：较难

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3．已知椭圆E₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1，E₂：
x2
a2
+
y2
b2
=2，过E₁上第一象限上一点P作E₁的切线，交于E₂于A，B两点．
（Ⅰ）已知x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀），则过点P（x₀，y₀）的切线方程为xx₀+yy₀=r²．类比此结论，写出椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1在其上一点P（x₀，y₀）的切线方程，并证明；
（Ⅱ）求证：|AP|=|BP|．

难度：较难

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4．如图，O为坐标原点，椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e₁；双曲线C₂：
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦点分别为F₃，F₄，离心率为e₂，已知e₁e₂=
3
2
，且|F₂F₄|=
3
-1．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）过F₁作C₁的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C₂交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

难度：较难

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5．已知圆M：（x-
2
）²+y²=
7
3
，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，左焦点与双曲线x²-y²=1的左顶点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx与椭圆C分别交于两点A，B，与圆M分别交于两点G，H（其中点G在线段AB上）且|AG|=|BH|，求k的值．

难度：较难

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6．已知椭圆Γ的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点M(1，
3
2
)在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设双曲线Σ：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的顶点A、B都是曲线Γ的顶点，经过双曲线Σ的右焦点F作x轴的垂线，与Σ在第一象限内相交于N，若直线MN经过坐标原点O，求双曲线Σ的离心率．

难度：较难

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7．已知F₁，F₂分别是椭圆C₁：
x2
a2
+y²=1（a＞1）的左、右焦点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若椭圆C₁与双曲线C₂：
y2
3
-
x2
1
=1的离心率互为倒数，求此时实数a的值；
（Ⅱ）若直线l经过点F₁和点（0，1），且原点到直线l的距离为
2
2
；又另一条直线m，斜率为1，与椭圆C₁交于E，F两点，
OE
⊥
OF
，求直线m的方程；
（Ⅲ）若在直线x=
a2
a2-1
上存在点P，使线段PF₁的中点M
MF2
⊥
PF1
．求实数a的取值范围．

难度：较难

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8．将抛物线x2=-2
2
y向上平移
2
个单位长度后，抛物线过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上顶点和左右焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若点P（m，0）满足如下条件：过点P且倾斜角为
5
6
π的直线l与椭圆相交于C、D两点，使右焦点F在以CD线段为直径的圆外，试求m的取值范围．

难度：较难

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9．（文科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．

难度：较难

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