知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥BB₁C₁C，BC=1，AB=BB₁=2，∠BCC₁=
π
3
．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）P是线段BB₁上的动点，当平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B时，求线段B₁P的长；
（Ⅲ）若E为BB₁的中点，求二面角C₁-AE-A₁平面角的余弦值．

难度：较难

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2．已知如图1正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图2所示．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱锥A-OCD的体积；
（3）求二面角A-BC-D的余弦．

难度：较难

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3．如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，DQ∥AP，AP=AD=2DQ=2，
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCQ所成锐二面角的余弦值；
（3）若E为PB中点，点F在线段CQ上，当平面AEF⊥平面PAB时，求CF的长．

难度：较难

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4．（2013秋•邕宁区校级月考）如图正方体中，M、N分别是棱AB、CC₁的中点，△M
B

1
P的顶点P在棱CC₁上运动，有以下四个命题：
①△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值
②△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形一定是三角形
③直线ND₁一定垂直平面MB₁P
④平面MB₁P一定垂直平面ND₁A₁
其中正确命题的序号是．

难度：较难

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5．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD₁A₁
（2）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为
6
7
，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

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6．如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．
（Ⅰ）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（Ⅱ）证明BD∥面PEC；
（Ⅲ）求面PEC与面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．

难度：较难

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7．如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分别为A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求证：BN⊥平面C₁MN．

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8．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面A₁B₁C₁D₁上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF．

难度：较难

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9．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁，AB=AC=AA₁=
2
2
BC，B₁C₁∥=
1
2
BC．
（1）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）若D是BC的中点，求证：B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）若BC=2，求几何体ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：较难

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10．如图所示，放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC，AB=
2
，BB₁=2．
（1）求直线CA₁与平面ACD所成角的正弦值；
（2）在线段AC₁上是否存在点P，使B₁P⊥平面ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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